【数ⅠA】『場合の数｜重複組み合わせ』

こんにちは！ニジマスです。

いきなりですが問題です。

是非解いてみましょう。

解けましたか？

答えは

165通り

通りです。

実はこの問題は

重複組み合わせを用いる問題です。

この問題がすぐに解けなかった人も、

後で紹介する解法を

身につけることができれば

必ずこの手の問題は解けるようになります。

是非参考にしていってください！

それでは問題の解答を交えながら

重複組み合わせについて

解説していきたいと思います。

まず重複組み合わせは何かというと

「異なるｎ個のものから重複を許して

ｒ個取る組み合わせ」

のことであり、

その総数を

nHr（homogeneous product)

なんて表現したりします。

今回の問題でいいかえると

「異なる袋A,B,C,Dの4つから

　重複を許して、りんごの数分の

　8個とる組み合わせ」

というかんじです。

では重複組み合わせは

どのように考えていけば

良いのでしょうか。

重複組み合わせでは必ず

「○」（まる）と「｜」（区切りの棒）

の並び替えとして考えるようにします。

手順として

区別のないｒ個を○として並べます。

○○○○○○

区別したいｎ個を棒で区切ります。

○○｜○○○｜○

この○と｜の並び替え

によって求めることができるのです。

問題のほうでは

「異なる袋A,B,C,Dの4つから

　重複を許して、りんごの数分の

　8個とる組み合わせ」

であるので、

次のように表すことができます。

りんごを○として並べます。

○○○○○○○○（8個）

袋A,B,C,Dに分配します。

○○｜○｜○○｜○○○

A　　B　　C　　D

2個｜1個｜2個｜3個

という感じに例えば分けられています。

もう1つ例を示すと

○○○｜○○｜○○○｜

A　　　B　　　C　　　D

3個｜2個｜3個｜0個

となります。

棒が端に来たときは

袋に入るりんごは0個

ということになります。

問題に1個も入れない袋があっても良い

と書いてある場合には

｜（棒）が端来ることがある

ということになります。

ではこれらを数式化していきます。

 ○と｜を合わせると11個あり、

この全体の並び替えは

「11！」

と表せますね。

次に○と｜は区別がないので、

○と｜の並び替えの順番は

考慮する必要がありません。

したがって、

○の数「8！」と｜の数　「3！」で割ります。

すると

となります。

○と｜の仕組みは理解できましたか？

重複組み合わせは

公式を覚えて解くという手もありますが、

公式だけ覚えていると

ひねられた問題が出たときなどに

応用がしづらいという事があります。

なので、

私は○と｜のやり方は

絶対覚えておくべきだと思います！

重複組み合わせの問題は他にもあるので、

○と｜を使う練習のためにも

早速チャレンジしてみましょう！

ブログでインプットをしたら、

アウトプット（問題を解くこと）

を必ず行いましょう！

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以上ニジマスでした～